Das Seitenmittenviereck eines Vierecks

Ein räumliches Viereck wird durch 4 Punkte definiert:

#declare P  = < 1.5, 0.0,-4.0>;
#declare Q  = < 4.0, 1.0, 3.5>;
#declare R  = < 0.0, 1.5, 3.5>;
#declare S  = <-3.0, 4.0,-2.5>;

Ein beliebiges räumliches Viereck ist nicht unbedingt flach. Im Gegensatz zu 2-dimensionalen Vierecken ist eine Vierecksfläche im Raum nicht eindeutig über 4 Punkte definierbar!

Ein beliebiges Viereck ist nicht unbedingt flach.

Die Seitenmitten M_PQ, M_QR, M_RS und M_SP des Vierecks ergeben sich wie folgt:

#declare M_PQ = (P+Q)/2;
#declare M_QR = (Q+R)/2;
#declare M_RS = (R+S)/2;
#declare M_SP = (S+P)/2;

Verbindet man die Seitenmitten, so ergibt sich ein Parallelogramm.
Vertauscht man z.B. die Punkte S und R:

#declare S  = < 0.0, 1.5, 3.5>;
#declare R  = <-3.0, 4.0,-2.5>;

so erhält man wieder ein Parallelogramm.


Das Seitenmittenviereck eines beliebigen Vierecks ist immer ein Parallelogramm.

Beweis:
Für den Kantenvektor M_PQM_QR gilt:
M_PQM_QR = (Q+R)/2 - (P+Q)/2
               = Q/2 + R/2 - P/2 - Q/2
               = R/2 - P/2. (I)

Für den gegenüberliegenden
Kantenvektor M_PSM_RS gilt:
M_PQM_QR = (R+S)/2 - (S+P)/2
               = R/2 + S/2 - S2 - P/2
               = R/2 - P/2. (II)

Vergleicht man (I) mit (II) so erkennt man, dass die beiden Kanten durch denselben Vektor dargestellt werden, d.h. sie sind parallel und gleich lang.
Ein Viereck, bei dem zwei einander gegenüber liegende Kanten gleich lang u. parallel sind, muß ein Parallelogramm sein.

Das Seitenmittenviereck eines beliebigen Viereck ist ein Parallelogramm.
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Das Seitenmittenparallelogramm auch bei verschränkten Eckpunkten.
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